1.7 网状电流分析

在电路分析中，简单的电路可以使用基本的分析工具，如欧姆定律、基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）进行分析。然而，对于包含各种受控源的复杂电路，仅使用这些工具以及串联和并联方法是不可靠的。因此，为了求解这种电路中某一支路的变量，需要使用节点分析法和网孔（或回路）分析法。通过使用这些经典方法，可以轻松地确定任何支路中的电路变量，如电压和电流，而不会遇到太大困难。让我们详细了解一下网孔分析法。

什么是网孔分析法？

网孔是一个内部不包含任何其他回路的回路。网孔分析技术使用网孔电流作为变量，而不是元件中的电流，来分析电路。因此，这种方法可以显著减少需要求解的方程数量。网孔分析法通过应用基尔霍夫电压定律（KVL）来确定给定电路中的未知电流。网孔分析法也被称为网孔电流法或回路分析法。在使用KVL找到网孔电流后，可以通过使用欧姆定律确定给定电路中任何位置的电压。

网孔分析法的分析步骤

1. 检查是否有可能将给定电路中的所有电流源转换为电压源。
2. 为给定电路中的每个网孔分配电流方向，并为每个网孔保持相同的方向。
3. 对每个网孔应用KVL，并简化KVL方程。
4. 求解各个网孔的联立方程，以获得网孔电流，这些方程的数量正好等于网络中存在的网孔数量。

考虑以下直流电路，应用网孔电流分析，以便找到不同网孔中的电流。在下图中，存在三个网孔，分别是ACDA、CBDC和ABCA，但路径ABDA不是一个网孔。首先，为每个网孔分配电流方向，如下图所示。

其次，对每个网孔应用KVL。对第一个回路或网孔应用KVL，得到

$V_1 - V_3 - R_2 (I_1 - I_3) - R_4 (I_1 - I_2) = 0$ $V_1 - V_3 = I_1 (R_2 + R_4) - I_2 R_4 - I_3 R_2 \quad \text{(1)}$

同样，对第二个网孔应用KVL，得到

$-V_2 - R_3 (I_2 - I_3) - R_4 (I_2 - I_1) = 0$ $-V_2 = -I_1 R_4 + I_2 (R_3 + R_4) - I_3 R_3 \quad \text{(2)}$

对第三个网孔或回路应用KVL，得到

$V_3 - R_1 I_3 - R_3 (I_3 - I_2) - R_2 (I_3 - I_1) = 0$ $V_3 = -I_1 R_2 - I_2 R_3 + I_3 (R_1 + R_2 + R_3) \quad \text{(3)}$

因此，通过求解上述三个方程，可以得到给定电路中每个网孔的网孔电流。

网孔分析法示例问题

示例1

考虑以下示例，我们使用网孔分析法求解12A电流源两端的电压。在给定电路中，所有源均为电流源。

步骤1：在电路中，右侧的电流源可以通过并联电阻转换为电压源。通过将相同值的电阻与电压源串联，并确定该源中的电压，将电流源转换为电压源。

$V_s = I_s R_s = 4 \times 4 = 16 \, \text{伏特}$

步骤2：为各个支路或回路分配支路电流 $I_1$ 和 $I_2$，并表示电流方向，如下图所示。

步骤3：对给定电路中的每个网孔应用KVL。

网孔1：

$V_x - 6 \times (I_1 - I_2) - 18 = 0$

代入 $I_1 = 12 \, \text{A}$：

$V_x + 6I_2 = 90 \quad \text{(1)}$

网孔2：

$18 - 6 \times (I_2 - I_1) - 4 \times I_2 - 16 = 0$ $2 - 10 \times I_2 + 6 \times 12 = 0$ $I_2 = \frac{74}{10} = 7.4 \, \text{安培}$

代入方程（1）中，得到：

$V_x = 90 - 44.4 = 45.6 \, \text{伏特}$

示例2

考虑以下电路，我们确定电流源两端的电压和支路电流 $I_{ac}$。分配方向如下图所示，并注意在第二个回路中，电流方向与源电流方向相反。

对第一个网孔应用KVL，得到

$V_1 - R_2 (I_1 - I_3) - R_4 (I_1 - I_2) = 0$ $4 - 2I_1 - 2I_3 - 4I_1 - 4I_2 = 0$ $-6I_1 - 2I_3 = 4 \quad \text{(1)}$

对第二个网孔应用KVL，得到

$-V_c - R_4 (I_2 - I_1) - R_3 (I_2 - I_3) = 0$ $-V_c = 4I_2 - 4I_1 + 2I_2 - 2I_3 = 0$ $-V_c = -4I_1 + 6I_2 - 2I_3$

但 $I_2 = -2 \, \text{A}$，则

$-V_c = -4I_1 - 12 - 2I_3 \quad \text{(2)}$

对第三个网孔应用KVL，得到

$-R_1 I_3 - R_3 (I_3 - I_2) - R_2 (I_3 - I_1) = 0$ $-4I_3 - 2I_3 + 2I_2 - 2I_3 + 2I_1 = 0$ $-8I_3 + 2I_1 - 4 = 0 \quad \text{(代入 $ I_2 = -2 \, \text{A} $)}$ $2I_1 - 8I_3 = 4 \quad \text{(3)}$

通过求解方程（1）和（3），得到 $I_3 = -0.615$ 和 $I_1 = 4.46$。

因此，电压 $V_c = 4 \times 4.46 + 12 + 2 \times (-0.615)$

$V_c = 28.61 \, \text{伏特}$

支路电流 $I_{ac} = I_1 - I_3$

$I_{ac} = 5.075 \, \text{安培}$

同样地，我们可以使用网孔分析法找到每一条支路的电流。

超网孔分析法

正如我们在示例2中看到的，它包含一个电流源。在对该电路应用网孔分析法之前，我们假设了电流源两端的未知电压，然后才应用网孔分析法。这种方法相当复杂，可以通过应用超网孔技术来克服。

当两个相邻网孔共享一个公共电流源，并且这些（相邻）网孔中没有一个在外部回路中包含电流源时，就形成了超网孔。考虑以下电路，其中通过电流源周围的回路形成了超网孔。

电流源是网孔1和2共有的，因此必须独立分析。为了实现这一点，假设包含电流源的支路是开路的，并创建一个称为超网孔的新网孔。

对超网孔应用基尔霍夫电压定律（KVL），我们得到：

$V = I_1 R_1 + (I_2 - I_3) R_3$ $V = I_1 R_1 + I_2 R_3 - I_3 R_3$

对网孔3应用KVL，我们得到：

$(I_3 - I_2) R_3 + I_3 R_4 = 0$

两个网孔电流之差给出了电流源的电流。在这里，电流源的方向与网孔电流方向 $I_1$ 一致。因此，$I_1$ 大于 $I_2$，则

$I = I_1 - I_2$

因此，通过使用这三个网孔方程，我们可以轻松地找到网络中的三个未知电流。

超网孔分析示例

考虑以下示例，我们需要找到通过10欧姆电阻的电流。

对网孔1应用KVL，我们得到：

$1I_1 + 10(I_1 - I_2) = 2$ $11I_1 - 10I_2 = 2 \quad \text{(1)}$

网孔2和网孔3包含一个4A的电流源，因此它们形成了一个超网孔。4A电流源的电流方向与 $I_3$ 一致，因此超网孔电流为

$I = I_3 - I_2$ $I_3 - I_2 = 4 \quad \text{(2)}$

对超网孔的外环应用KVL，我们得到：

$-10(I_2 - I_1) - 5I_2 - 15I_3 = 0$ $10I_1 - 15I_2 - 15I_3 = 0 \quad \text{(3)}$

通过求解方程（1）、（2）和（3），我们得到：

$I_1 = -2.35 \, \text{A}$ $I_2 = -2.78 \, \text{A}$ $I_3 = 1.22 \, \text{A}$

因此，通过10欧姆电阻的电流为 $I_1 - I_2$：

$I_1 - I_2 = -2.35 + 2.78 \, \text{A}$ $I = 0.43 \, \text{A}$